ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا الطرفين في $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 4^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

خطوة 3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط $x (1 + 4^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $x$ و $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

خطوة 3.4.2

اطرح $x \cdot 4^{y}$ من كلا المتعادلين.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $4^{y}$ من $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب في $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $4^{y}$ من $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $4^{y}$ من $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $4^{y} (1 - x) = x$ على $1 - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $4^{y} (1 - x) = x$ على $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $4^{y}$ على $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

خطوة 3.4.5

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

خطوة 3.4.6

وسّع $\ln (4^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

خطوة 3.4.7

اقسِم كل حد في $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ على $\ln (4)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اقسِم كل حد في $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ على $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

خطوة 3.4.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

خطوة 3.4.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

اطرح $4^{x}$ من $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.3.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 4^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.5

وسّع $\ln (4^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

خطوة 5.2.6.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

خطوة 5.3.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

خطوة 5.3.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

خطوة 5.3.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

خطوة 5.3.4.5

أعِد كتابة $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.5.1

أضف $- x$ و $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

خطوة 5.3.4.5.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$