ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 4 e^{x}$ في صورة معادلة.

$y = 4 e^{x}$

خطوة 2

عوّض باستخدام قاعدة متوسط معدل التغيير.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد متوسط معدل التغيير للدالة بحساب التغيير في قيم $y$ للنقطتين مقسومًا على التغيير في قيم $x$ للنقطتين.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

خطوة 2.2

عوّض بقيمتَي $f (2)$ و $f (- 2)$ في المعادلة $y = 4 e^{x}$ ، مع استبدال $x$ في الدالة بقيمة $x$ المقابلة.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $4 e^{2}$ بالصيغة ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $4 e^{- 2}$ بالصيغة ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 e$ و $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.5

لكتابة $e$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.7

اضرب $e e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.7.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.7.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.8.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.9

لكتابة $2 e$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.11

اضرب $2 e e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.11.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.11.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.11.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.11.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.12.1

اجمع $2$ و $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12.2

اضرب $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ في $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12.3

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12.4

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.1.12.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

خطوة 3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

خطوة 3.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

خطوة 3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

خطوة 3.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

خطوة 3.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

خطوة 3.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

خطوة 3.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $2 e^{2} - 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

خطوة 3.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

خطوة 3.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

خطوة 3.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $e^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

خطوة 3.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e$ و $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$