ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

خطوة 2.1.2

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{3}{x^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(x + h)}^{3} x^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ في $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{3}{x^{3}}$ في $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 {(x + h)}^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.2

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.3

اطرح $h$ من $0$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.5

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.6

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.7

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.8.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.8.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.8.2.1

أعِد ترتيب $h$ و $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.8.2.2

أضف $x h$ و $x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.9

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.10

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.11

أضف $x h$ و $2 x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.4.1

أخرِج السالب.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.5.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $h$ من $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ .

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

خطوة 5