ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

خطوة 2.1.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x + h$ و $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.1.2

اضرب $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ في $1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.3

لكتابة $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اضرب $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ في $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.4.2

اضرب $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ في $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

خطوة 4.1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

خطوة 4.1.4.4

أعِد ترتيب عوامل $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.3

وسّع $(- x - 6) (x - 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4.1.2

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4.1.3

اضرب $- 6$ في $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4.2

اطرح $6 x$ من $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.4.3

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.5

وسّع $(x + h + 6) (x + h - 6)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.6.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot - 6$ و $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6.2

أضف $- 6 x$ و $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6.3

أضف $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ و $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6.4

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $h \cdot - 6$ و $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6.5

أضف $- 6 h$ و $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.6.6

أضف $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ و $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.7.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.7.2

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.7.3

اضرب $6$ في $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.8

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.8.1

أعِد ترتيب $h$ و $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.8.2

أضف $x h$ و $x h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.9

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.10

أضف $0$ و $36$ .

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.11

اطرح $36$ من $36$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.12

أضف $2 x h + h^{2}$ و $0$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.13

أخرِج العامل $h$ من $2 x h + h^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.13.1

أخرِج العامل $h$ من $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.13.2

أخرِج العامل $h$ من $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.1.6.13.3

أخرِج العامل $h$ من $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

خطوة 5