ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

خطوة 1

اكتب $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ في صورة دالة.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

خطوة 2

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

خطوة 3

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة الدالة في $x = r + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $r$ بـ $r + h$ في العبارة.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

خطوة 3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

خطوة 3.1.2.3

احذِف الأقواس.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

خطوة 3.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

خطوة 3.1.2.4.2

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

خطوة 3.1.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

اضرب $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.1.2

اجمع $\frac{π \cdot 4}{3}$ و $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

خطوة 3.1.2.6.4

اضرب $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.4.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

خطوة 3.1.2.6.4.2

اجمع $\frac{π \cdot 4}{3}$ و $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

خطوة 3.1.2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.7.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

خطوة 3.1.2.7.2

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

خطوة 3.1.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

خطوة 3.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

خطوة 3.2.2

انقُل $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

خطوة 3.2.3

انقُل $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

خطوة 3.2.4

انقُل $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

خطوة 3.2.5

أعِد ترتيب $4 π h^{2} r$ و $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

خطوة 3.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

خطوة 4

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $\frac{4 π r^{3}}{3}$ من $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

خطوة 5.1.2

أضف $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ و $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $4 π h$ من $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $4 π h$ من $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

خطوة 5.1.3.2

أخرِج العامل $4 π h$ من $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

خطوة 5.1.3.3

أخرِج العامل $4 π h$ من $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

خطوة 5.1.3.4

أخرِج العامل $4 π h$ من $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

خطوة 5.1.3.5

أخرِج العامل $4 π h$ من $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.4

لكتابة $h r$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.5

اجمع $h r$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} + h r \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.7.1.2

أخرِج العامل $h$ من $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.7.1.3

أخرِج العامل $h$ من $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.7.2

انقُل $3$ إلى يسار $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

خطوة 5.1.8

لكتابة $r^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

خطوة 5.1.9

اجمع $r^{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

خطوة 5.1.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 5.1.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 5.1.11.2

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 5.1.11.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 5.1.11.4

انقُل $3$ إلى يسار $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

خطوة 5.1.12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.12.1

اجمع $4$ و $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

خطوة 5.1.12.2

اجمع $π$ و $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

خطوة 5.1.12.3

اجمع $h$ و $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

خطوة 5.1.13

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

خطوة 5.1.14

انقُل $4$ إلى يسار $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

خطوة 5.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 5.3

اجمع.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

خطوة 5.5

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

خطوة 6