ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

خطوة 1

انظر قاعدة ناتج الفرق.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) (x + h) + 2}$

خطوة 2.1.2.1.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{3}{x (x + h) + h (x + h) + 2}$

خطوة 2.1.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h (x + h) + 2}$

خطوة 2.1.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2}$

خطوة 2.1.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2}$

خطوة 2.1.2.1.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.1.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.1.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} - (\frac{3}{x^{2} + 2})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{3}{x^{2} + 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ في $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{3}{x^{2} + 2}$ في $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5

أعِد كتابة $\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (0 + 2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{\frac{3 (2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.6

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.7

أضف $- 2 h x - h^{2}$ و $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8

أخرِج العامل $h$ من $- 2 h x - h^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.8.1

أخرِج العامل $h$ من $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.2

أخرِج العامل $h$ من $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8.3

أخرِج العامل $h$ من $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

$\frac{\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

اجمع.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 4.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - h$ .

$\frac{3 (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أعِد كتابة $- (2 x + h)$ بالصيغة $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 4.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 (2 x + h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

خطوة 5