ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ في صورة معادلة.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ على $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\sqrt[5]{y + 7}$ على $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ارفع كلا المتعادلين إلى القوة $5$ .

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{y + 7}$ في صورة ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

خطوة 3.4.3.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

خطوة 3.5

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ هي معكوس $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ بالصيغة $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{x + 7}$ في صورة ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.1.3.5

بسّط.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $x + 7$ على $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 7 - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $7$ من $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

خطوة 5.3.3

أضف $- 7$ و $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

خطوة 5.3.4

أضف $\frac{x^{5}}{3125}$ و $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $3125$ بالصيغة $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

خطوة 5.3.6

أعِد كتابة $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

خطوة 5.3.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

خطوة 5.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

خطوة 5.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ هي معكوس $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$