ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{3}$

خطوة 2

يُحسب مجموع السلسلة $S_{n}$ باستخدام القاعدة $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . ولحساب مجموع سلسلة هندسية لا نهائية $S_{\infty}$ ، مع اقتراب $n$ من $\infty$ ، تقترب $1 - r^{n}$ من $1$ . ومن ثمَّ، تقترب $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ من $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

خطوة 3

يمكن وضع القيمتين $a = \frac{1}{3}$ و $r = \frac{1}{3}$ في المعادلة $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 4

بسّط المعادلة لإيجاد $S_{\infty}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

خطوة 4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

خطوة 4.2.3

اطرح $1$ من $3$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{3}{2}))$

خطوة 4.4

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$S_{\infty} = \frac{1}{2}$