ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 8 x^{5} - 7$ في صورة معادلة.

$y = 8 x^{5} - 7$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 8 y^{5} - 7$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 y^{5} - 7 = x$ .

$8 y^{5} - 7 = x$

خطوة 3.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$8 y^{5} = x + 7$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $8 y^{5} = x + 7$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $8 y^{5} = x + 7$ على $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y^{5}$ على $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

خطوة 3.5.3

اضرب $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.5.4.2

ارفع $\sqrt[5]{8}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.5.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

خطوة 3.5.4.4

أضف $1$ و $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

خطوة 3.5.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ بالصيغة $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{8}$ في صورة $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

خطوة 3.5.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

خطوة 3.5.4.5.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 3.5.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 3.5.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

خطوة 3.5.4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

خطوة 3.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ بالصيغة $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

خطوة 3.5.5.2

ارفع $8$ إلى القوة $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

خطوة 3.5.5.3

أعِد كتابة $4096$ بالصيغة $4^{5} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.3.1

أخرِج العامل $1024$ من $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

خطوة 3.5.5.3.2

أعِد كتابة $1024$ بالصيغة $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

خطوة 3.5.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

خطوة 3.5.5.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

خطوة 3.5.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

خطوة 3.5.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.5.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.5.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

خطوة 3.5.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $- 7$ و $7$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $8 x^{5}$ و $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $4$ في $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

خطوة 5.2.3.4

أعِد كتابة $32 x^{5}$ بالصيغة ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

خطوة 5.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ بالصيغة $4 (x + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ في صورة ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.1.5

بسّط.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.3

اضرب $4$ في $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.4

أخرِج العامل $4$ من $4 x + 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.4.2

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.2.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 x + 4 \cdot 7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

خطوة 5.3.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $8$ من $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

خطوة 5.3.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

خطوة 5.3.3.5.2

اقسِم $x + 7$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 7 - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $7$ من $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$