ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{3}$

خطوة 2

استخدِم قاعدة المتتالية الهندسية $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ لإيجاد عدد الحدود، $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بقيم الحد الأول والحد الأخير والنسبة بين الحدين في القاعدة.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

خطوة 2.2.2

اقسِم كل حد في $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اقسِم كل حد في $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ على $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اقسِم ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ على $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

خطوة 2.2.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

خطوة 2.2.2.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

خطوة 2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

خطوة 2.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

خطوة 2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

خطوة 2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 2.2.2.3.3

اضرب $\frac{1}{243}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

خطوة 2.2.2.3.4

اضرب $243$ في $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

خطوة 2.2.3

اضرب كلا الطرفين في $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اجمع $\frac{1}{729}$ و $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

خطوة 2.2.5

أوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

خطوة 2.2.5.2

اضرب كلا المتعادلين في $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

خطوة 2.2.5.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $729$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

خطوة 2.2.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

خطوة 2.2.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.2.1

اضرب $729$ في $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

خطوة 2.2.5.4

أنشئ عبارات متكافئة في المعادلة بحيث تكون جميعها ذات أساسات متساوية.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

خطوة 2.2.5.5

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$n - 1 = 6$

خطوة 2.2.5.6

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$n = 6 + 1$

خطوة 2.2.5.6.2

أضف $6$ و $1$ .

$n = 7$

خطوة 3

استخدِم قاعدة مجموع المتتالية الهندسية $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ لإيجاد المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيم الحد الأول والنسبة وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.7.2

اطرح $2187$ من $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.9.1

أخرِج السالب.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9.2

اجمع $- 12$ و $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9.3

اضرب $- 12$ في $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 26232$ و $2187$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.10.1

أخرِج العامل $3$ من $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.12.1

أخرِج السالب.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.12.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.12.3

اضرب $\frac{8744}{729}$ في $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.2.2.2

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.4.2

اطرح $3$ من $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

خطوة 3.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

خطوة 3.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.2.4.2

أخرِج العامل $2$ من $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

خطوة 3.2.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 3.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 3.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

خطوة 3.2.6

اجمع $\frac{4372}{243}$ و $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

خطوة 3.2.7

اضرب $4372$ في $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

خطوة 3.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$