ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{x} + 10$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{x} + 10$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{y} + 10$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

خطوة 3.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{y} = x - 10$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$y = {(x - 10)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - 10)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 10)}^{2}$ بالصيغة $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

خطوة 3.4.3.1.2

وسّع $(x - 10) (x - 10)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

خطوة 3.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

خطوة 3.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

خطوة 3.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

خطوة 3.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 10$ إلى يسار $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

خطوة 3.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 10$ في $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

خطوة 3.4.3.1.3.2

اطرح $10 x$ من $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ بالصيغة $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.2

وسّع $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

اضرب $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1.1

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.1.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.2.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.3

انقُل $10$ إلى يسار $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.1.4

اضرب $10$ في $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.3.2

أضف $10 \sqrt{x}$ و $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

خطوة 5.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $- 20$ في $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

خطوة 5.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

اطرح $20 \sqrt{x}$ من $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

خطوة 5.2.4.1.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

خطوة 5.2.4.2

اطرح $200$ من $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

خطوة 5.2.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 100 + 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أضف $- 100$ و $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

خطوة 5.2.4.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} - 20 x + 100)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

خطوة 5.3.3

احذِف الأقواس.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

خطوة 5.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

خطوة 5.3.4.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

خطوة 5.3.4.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

خطوة 5.3.4.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

خطوة 5.3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 10 + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أضف $- 10$ و $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

خطوة 5.3.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$