ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 2, 1)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

خطوة 5.3.3

أضف $4$ و $9$ .

$\sqrt{13}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 2, 3)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 2, - 1)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(- 2, 3), (- 2, - 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 2, 1 + \sqrt{13})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 2, 1 - \sqrt{13})$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

خطوة 8.3.3

أضف $4$ و $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{9}{\sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{9}{\sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{13}}^{2}$ بالصيغة $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{13}$ في صورة $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 1$

خطوة 11.2.1.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 1$

خطوة 11.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

خطوة 11.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3}{3}$

خطوة 11.2.2.3

أضف $4$ و $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{2}{3} \cdot (x - (- 2)) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x + 2) + 1$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 + 1$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 (\frac{2}{3}) + 1$

خطوة 12.2.1.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} + 1$

خطوة 12.2.1.4.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

خطوة 12.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{2 \cdot x}{3} + \frac{- 4}{3} + 1$

خطوة 12.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 1$

خطوة 12.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

خطوة 12.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3}{3}$

خطوة 12.2.2.3

أضف $- 4$ و $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 12.2.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 2, 1)$

الرؤوس: $(- 2, 3), (- 2, - 1)$

البؤر: $(- 2, 1 + \sqrt{13}), (- 2, 1 - \sqrt{13})$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

المعلمة البؤرية: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

خطوط التقارب: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$ ، $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 15