ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x - 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{x - 2}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{x - 2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{y - 2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{y - 2} = x$ .

$\sqrt{y - 2} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y - 2}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y - 2}$ في صورة ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y - 2)}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$y - 2 = x^{2}$

خطوة 3.4

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = x^{2} + 2$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{x - 2})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(\sqrt{x - 2})}^{2} + 2$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ بالصيغة $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2$

خطوة 5.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2$

خطوة 5.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 2$

خطوة 5.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 2$

خطوة 5.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = (x - 2) + 2$

خطوة 5.2.3.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x - 2 + 2$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 2}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} + 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{(x^{2} + 2) - 2}$

خطوة 5.3.3

اطرح $2$ من $2$ .

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{x^{2} + 0}$

خطوة 5.3.4

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f (x^{2} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} + 2) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 2$