ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

خطوة 1.1.2

أضف $6 x$ إلى كلا المتعادلين.

$y - x^{2} + 6 x = k$

خطوة 1.1.3

اطرح $k$ من كلا المتعادلين.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

خطوة 1.1.4

انقُل $6 x$ .

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

خطوة 1.1.5

انقُل $y$ .

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $- x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$d = - 3$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

خطوة 1.3

استبدِل $- x^{2} + 6 x$ بـ $- {(x - 3)}^{2} + 9$ في المعادلة $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

خطوة 1.4

انقُل $9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

خطوة 1.5

اطرح $9$ من $0$ .

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(3, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1}$

خطوة 5.3.3

أضف $1$ و $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, 1)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, - 1)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(3, 1), (3, - 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, - \sqrt{2})$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 8.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 8.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 8.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 9

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

خطوة 10

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

خطوة 10.2

بسّط $1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $1 \cdot (x - (3))$ و $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (3))$

خطوة 10.2.2

اضرب $x - (3)$ في $1$ .

$y = x - (3)$

خطوة 10.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = x - 3$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

خطوة 11.2

بسّط $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أضف $- 1 \cdot (x - (3))$ و $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

خطوة 11.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

خطوة 11.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$y = - x + 3$

خطوة 12

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = x - 3, y = - x + 3$

خطوة 13

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(3, 0)$

الرؤوس: $(3, 1), (3, - 1)$

البؤر: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

المعلمة البؤرية: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوط التقارب: $y = x - 3$ ، $y = - x + 3$

خطوة 14