ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x^{5}}{3}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y^{5}}{3}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{5}}{3} = x$ .

$\frac{y^{5}}{3} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{5} = 3 x$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[5]{3 x}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

خطوة 5.2.3

اجمع $3$ و $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

خطوة 5.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اختزِل العبارة $\frac{3 x^{5}}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

خطوة 5.2.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x^{5}$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

خطوة 5.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\sqrt[5]{3 x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x})}^{5}}{3}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ بالصيغة $3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{3 x}$ في صورة ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3}$

خطوة 5.3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3}$

خطوة 5.3.3.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

خطوة 5.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.3.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$