ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $5$ .

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{y} = 5 x$

خطوة 3.4

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

بسّط.

$y = {(5 x)}^{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط ${(5 x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 x$ .

$y = 5^{2} x^{2}$

خطوة 3.5.3.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$y = 25 x^{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

خطوة 5.2.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

خطوة 5.2.4.5

بسّط.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

خطوة 5.2.5

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

خطوة 5.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (25 x^{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $25 x^{2}$ بالصيغة ${(5 x)}^{2}$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 5.3.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (25 x^{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$