ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ غير معرّفة.

$x = - 2, x = 2$

خطوة 2

بما أن $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 2$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 2$ من جهة اليمين، إذن $x = - 2$ خط تقارب رأسي.

$x = - 2$

خطوة 3

بما أن $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $2$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $2$ من جهة اليمين، إذن $x = 2$ خط تقارب رأسي.

$x = 2$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 2, 2$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2}) - 8}$

خطوة 8.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2} - 4)}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x^{2} - 2^{2})}$

خطوة 8.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 8.2

وسّع $2 (x + 2) (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2)}$

خطوة 8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{2 x (x - 2) + 2 \cdot (2 (x - 2))}$

خطوة 8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 2 \cdot (2 (x - 2))}$

خطوة 8.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.5

انقُل $x$ .

$\frac{x^{3}}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3}}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.10

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot (2 x) + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.12

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.13

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8}$

خطوة 8.2.14

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} + 0 - 8}$

خطوة 8.2.15

اطرح $8$ من $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 8}$

خطوة 8.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 8.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - 4 x$

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 8.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

خطوة 8.8

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

خطوة 8.9

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{x}{2} + \frac{4 x}{2 x^{2} - 8}$

خطوة 8.10

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = \frac{x}{2}$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 2, 2$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = \frac{x}{2}$

خطوة 10