ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ في صورة معادلة.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

خطوة 3.2.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

خطوة 3.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

خطوة 3.4.1.1.2

بسّط.

$y = {(7 + x)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${(7 + x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أعِد كتابة ${(7 + x)}^{2}$ بالصيغة $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

خطوة 3.4.2.1.2

وسّع $(7 + x) (7 + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

خطوة 3.4.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

خطوة 3.4.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

خطوة 3.4.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.3.1.1

اضرب $7$ في $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

خطوة 3.4.2.1.3.1.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

خطوة 3.4.2.1.3.1.3

اضرب $x$ في $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

خطوة 3.4.2.1.3.2

أضف $7 x$ و $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

خطوة 3.5

بسّط $49 + 14 x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب $14 x$ و $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ هي معكوس $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ بالصيغة $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.2

وسّع $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.1.3

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.1.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.2

بسّط $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.3

انقُل $- 7$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.1.4

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.3.2

اطرح $7 x^{\frac{1}{2}}$ من $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

خطوة 5.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $14$ في $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

خطوة 5.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

أضف $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ و $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

خطوة 5.2.4.1.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

خطوة 5.2.4.2

اطرح $98$ من $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

خطوة 5.2.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 49 + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أضف $- 49$ و $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

خطوة 5.2.4.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} + 14 x + 49)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 5.3.3.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

خطوة 5.3.3.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 5.3.3.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

خطوة 5.3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

خطوة 5.3.3.4

بسّط.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 7 - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $7$ من $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ هي معكوس $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$