ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ غير معرّفة.

$- 1 \leq x \leq 1$

خطوة 2

بما أن $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليسار و $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليمين، إذن $x = - 1$ خط تقارب رأسي.

$x = - 1$

خطوة 3

بما أن $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليسار و $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليمين، إذن $x = 1$ خط تقارب رأسي.

$x = 1$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 1, 1$

خطوة 5

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

خطوة 5.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 5.3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.8.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.8.3

أضف $- 1 x$ و $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.8.4

اطرح $1$ من $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.2.9

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

خطوة 5.5.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

خطوة 5.5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

خطوة 5.5.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 5.5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.7

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.11

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.12

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.13

أضف $x$ و $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.14

اطرح $1$ من $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.15

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 5.5.3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

خطوة 5.5.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

خطوة 5.5.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

خطوة 5.5.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

خطوة 5.5.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{1}{1})$

خطوة 5.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 1$

خطوة 5.6.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

خطوة 6.2.2

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

خطوة 6.3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.4

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 6.5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.8.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.8.3

أضف $- 1 x$ و $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.8.4

اطرح $1$ من $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.2.9

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة زوجية معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

خطوة 6.5.1.3

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة زوجية معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

خطوة 6.5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

خطوة 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 6.5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.7

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.11

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.12

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.13

أضف $x$ و $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.14

اطرح $1$ من $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.15

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

خطوة 6.5.3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

خطوة 6.5.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

خطوة 6.5.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

خطوة 6.5.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

خطوة 6.5.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

خطوة 6.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1}}$

خطوة 6.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

خطوة 6.6.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

خطوة 6.6.2.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

خطوة 6.6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- \frac{1}{1})$

خطوة 6.6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.6.2.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1$

خطوة 6.6.2.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2$

خطوة 7

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 2, - 2$

خطوة 8

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 1, 1$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 2, - 2$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 10