ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{3}$

خطوة 2

استخدِم قاعدة المتتالية الهندسية $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ لإيجاد عدد الحدود، $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بقيم الحد الأول والحد الأخير والنسبة بين الحدين في القاعدة.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

خطوة 2.2.2

بسّط $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

خطوة 2.2.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $81$ و $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

خطوة 2.2.3

اضرب كلا الطرفين في $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

خطوة 2.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اجمع $\frac{1}{81}$ و $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

خطوة 2.2.5

أوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

خطوة 2.2.5.2

اضرب كلا المتعادلين في $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

خطوة 2.2.5.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

خطوة 2.2.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

خطوة 2.2.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.2.1

اضرب $81$ في $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

خطوة 2.2.5.4

أنشئ عبارات متكافئة في المعادلة بحيث تكون جميعها ذات أساسات متساوية.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

خطوة 2.2.5.5

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$n - 1 = 8$

خطوة 2.2.5.6

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$n = 8 + 1$

خطوة 2.2.5.6.2

أضف $8$ و $1$ .

$n = 9$

خطوة 3

استخدِم قاعدة مجموع المتتالية الهندسية $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ لإيجاد المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيم الحد الأول والنسبة وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.7.2

اطرح $19683$ من $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.9.1

أخرِج السالب.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9.2

اجمع $81$ و $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.9.3

اضرب $81$ في $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10

احذِف العامل المشترك لـ $1594242$ و $19683$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.10.1

أخرِج العامل $81$ من $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.10.2.1

أخرِج العامل $81$ من $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.1.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.2.2.2

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

خطوة 3.2.2.4.2

اطرح $3$ من $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

خطوة 3.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

خطوة 3.2.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 3.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

خطوة 3.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

خطوة 3.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

خطوة 3.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$