ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(1, 1)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $4$ في $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

خطوة 5.3.3.4

اطرح $4$ من $12$ .

$\sqrt{8}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثانية لقطع ناقص بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

خطوة 6.5

بسّط.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

خطوة 6.6

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

خطوة 7.5

بسّط.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.7

اطرح $4$ من $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.8

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.3

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 8.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 8.3.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

خطوة 8.3.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

خطوة 10