ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 8 x^{5}$ في صورة معادلة.

$y = 8 x^{5}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 8 y^{5}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $8 y^{5} = x$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $8 y^{5} = x$ على $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $y^{5}$ على $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.4.3.2

ارفع $\sqrt[5]{8}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

خطوة 3.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

خطوة 3.4.3.4

أضف $1$ و $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

خطوة 3.4.3.5

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ بالصيغة $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{8}$ في صورة $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

خطوة 3.4.3.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

خطوة 3.4.3.5.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 3.4.3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 3.4.3.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

خطوة 3.4.3.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ بالصيغة $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

خطوة 3.4.4.2

ارفع $8$ إلى القوة $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

خطوة 3.4.4.3

أعِد كتابة $4096$ بالصيغة $4^{5} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

أخرِج العامل $1024$ من $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

خطوة 3.4.4.3.2

أعِد كتابة $1024$ بالصيغة $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

خطوة 3.4.4.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

خطوة 3.4.4.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

خطوة 3.4.5

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

خطوة 3.4.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.4.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.4.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

خطوة 3.4.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 8 x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (8 x^{5})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $4$ في $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة $32 x^{5}$ بالصيغة ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

خطوة 5.2.3.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

خطوة 5.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ بالصيغة $4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{4 x}$ في صورة ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

خطوة 5.3.4.5

بسّط.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

خطوة 5.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أخرِج العامل $8$ من $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

خطوة 5.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

خطوة 5.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.3.7.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$