三角学示例

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 之间）之间的 $\sec (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 和 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

邻边： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.5.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{2} + 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

将 $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

解题步骤 2.9

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.9.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.9.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.10.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.10.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\sec (θ) = \frac{斜边}{邻边}$ ，所以 $\sec (θ) = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\sec (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sec (θ) = 1 (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sec (θ) = \sqrt{2} \approx 1.41421356$

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