三角学示例

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 之间）之间的 $\sec (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ 和 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{1}{2}$

邻边： $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{3^{1}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.4.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 2.4.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 2.4.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

解题步骤 2.4.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

解题步骤 2.4.7

用 $4$ 除以 $4$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.4.8

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\sec (θ) = \frac{斜边}{邻边}$ ，所以 $\sec (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ 。

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\sec (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\sec (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$\sec (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sec (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\sec (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.5.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.5.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx - 1.15470053$

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