三角学示例

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$

解题步骤 1

等式两边同时乘以 $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

化简 $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $π$ 。

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.3

将 $\frac{3}{4 π}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.4.2

从 $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.4.3

约去公因数。

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.4.4

重写表达式。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.5

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $r^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.6

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{4 r^{3}}{3}$ 。

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.7

乘。

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解题步骤 2.1.1.7.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.7.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.8

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.8.1

约去公因数。

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.1.1.8.2

用 $r^{3}$ 除以 $1$ 。

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

从 $\frac{4}{3} π$ 中分解出因数 $π$ 。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (36 π)$

解题步骤 2.2.1.1.2

从 $36 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

解题步骤 2.2.1.1.3

约去公因数。

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

解题步骤 2.2.1.1.4

重写表达式。

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \cdot 36$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $\frac{1}{\frac{4}{3}}$ 和 $36$ 。

$r^{3} = \frac{36}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$r^{3} = 36 (\frac{3}{4})$

解题步骤 2.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$r^{3} = 4 (9) \frac{3}{4}$

解题步骤 2.2.1.4.2

约去公因数。

$r^{3} = 4 \cdot 9 \frac{3}{4}$

解题步骤 2.2.1.4.3

重写表达式。

$r^{3} = 9 \cdot 3$

解题步骤 2.2.1.5

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$r^{3} = 27$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $27$ 。

$r^{3} - 27 = 0$

解题步骤 4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$r^{3} - 3^{3} = 0$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = 3$ 。

$(r - 3) (r^{2} + r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 移到 $r$ 的左侧。

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r - 3 = 0$

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

解题步骤 6

将 $r - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 6.1

将 $r - 3$ 设为等于 $0$ 。

$r - 3 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$r = 3$

解题步骤 7

将 $r^{2} + 3 r + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 7.1

将 $r^{2} + 3 r + 9$ 设为等于 $0$ 。

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $r$ 的 $r^{2} + 3 r + 9 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $r$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为两个解的组合。

$r = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

最终解为使 $(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$ 成立的所有值。

$r = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

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