三角学示例

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $889$ 。

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

解题步骤 1.2

对 $11 x^{2} + 22 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $22$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 11$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{11}{11}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{11}{11}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $22$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $11$ 。

$e = 0 - \frac{484}{44}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $484$ 除以 $44$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 11$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$e = 0 - 11$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $11$ 。

$e = - 11$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ 。

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

解题步骤 1.3

在方程 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ 中，用 $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ 代替 $11 x^{2} + 22 x$ 。

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $11$ 的方法来将 $- 11$ 移到等式右边。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

解题步骤 1.5

对 $- 25 y^{2} + 250 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $250$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $250$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{125}{- 25}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $125$ 和 $- 25$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

移动 $\frac{5}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 5$

解题步骤 1.5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$d = - 5$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $250$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $62500$ 除以 $- 100$ 。

$e = 0 - - 625$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 625$ 。

$e = 0 + 625$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $625$ 相加。

$e = 625$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ 。

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

解题步骤 1.6

在方程 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ 中，用 $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ 代替 $- 25 y^{2} + 250 y$ 。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $625$ 的方法来将 $625$ 移到等式右边。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

解题步骤 1.8

化简 $889 + 11 - 625$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $889$ 和 $11$ 相加。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

解题步骤 1.8.2

从 $900$ 中减去 $625$ 。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $275$ 以使方程右边等于一。

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

解题步骤 4

求顶点。

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解题步骤 4.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 4.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 5)$

解题步骤 4.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 4.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, 5)$

解题步骤 4.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(4, 5), (- 6, 5)$

解题步骤 5

三角学 示例

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