三角学示例

$a = 9$ , $b = 7$ , $A = 60$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 3

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $7 \frac{\sin (60)}{9}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

$\sin (60)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin (B) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (B) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9})$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.2.2.1.4

组合 $7$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ 。

$\sin (B) = \frac{7 \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

计算 $\arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$ 。

$B = 42.34361264$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 42.34361264$

解题步骤 3.6

从 $180$ 中减去 $42.34361264$ 。

$B = 137.65638735$

解题步骤 3.7

方程 $B = 42.34361264$ 的解。

$B = 42.34361264, 137.65638735$

解题步骤 3.8

排除无效角。

$B = 42.34361264$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$60 + C + 42.34361264 = 180$

解题步骤 5

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $60$ 和 $42.34361264$ 相加。

$C + 102.34361264 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $102.34361264$ 。

$C = 180 - 102.34361264$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $102.34361264$ 。

$C = 77.65638735$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求 $c$ 。

$\frac{\sin (77.65638735)}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 8

求解 $c$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算 $\sin (77.65638735)$ 。

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

解题步骤 8.1.2

$\sin (60)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

解题步骤 8.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$

解题步骤 8.1.4

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ 。

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解题步骤 8.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 8.1.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 18$

解题步骤 8.2.2

Since $c, 18$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 18$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

解题步骤 8.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 8.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 8.2.5

$18$ 的质因数是 $2 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

$18$ 具有因式 $2$ 和 $9$ 。

$2 \cdot 9$

解题步骤 8.2.5.2

$9$ 具有因式 $3$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 3 \cdot 3$

解题步骤 8.2.6

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cdot 3$

解题步骤 8.2.6.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18$

解题步骤 8.2.7

$c^{1}$ 的因式是 $c$ 本身。

$c^{1} = c$

$c$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 8.2.8

$c^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$c$

解题步骤 8.2.9

$c, 18$ 的最小公倍数为数字部分 $18$ 乘以变量部分。

$18 c$

解题步骤 8.3

将 $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ 中的每一项乘以 $18 c$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ 中的每一项乘以 $18 c$ 。

$\frac{0.97688313}{c} (18 c) = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$18 \frac{0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.2.2

乘以 $18 \frac{0.97688313}{c}$ 。

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解题步骤 8.3.2.2.1

组合 $18$ 和 $\frac{0.97688313}{c}$ 。

$\frac{18 \cdot 0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.2.2.2

将 $18$ 乘以 $0.97688313$ 。

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.2.3

约去 $c$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.2.3.2

重写表达式。

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

约去 $18$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1.1

从 $18 c$ 中分解出因数 $18$ 。

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 (c))$

解题步骤 8.3.3.1.2

约去公因数。

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

解题步骤 8.3.3.1.3

重写表达式。

$17.58389644 = \sqrt{3} c$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $\sqrt{3} c = 17.58389644$ 。

$\sqrt{3} c = 17.58389644$

解题步骤 8.4.2

将 $\sqrt{3} c = 17.58389644$ 中的每一项除以 $\sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $\sqrt{3} c = 17.58389644$ 中的每一项都除以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用 $c$ 除以 $1$ 。

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

将 $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.4.2.3.2.1

将 $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.4.2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 8.4.2.3.2.6.5

计算指数。

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.4.2.3.3

将 $17.58389644$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$c = \frac{30.45620204}{3}$

解题步骤 8.4.2.3.4

用 $30.45620204$ 除以 $3$ 。

$c = 10.15206734$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 60$

$B = 42.34361264$

$C = 77.65638735$

$a = 9$

$b = 7$

$c = 10.15206734$

三角学 示例

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