三角学示例

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

解题步骤 2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

$arcsec (- 2)$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.2.1

从 $3 θ$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.1.1.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

乘以 $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$θ = \frac{4 π}{9}$

解题步骤 5

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1.2.1

从 $3 θ$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.1.1.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

化简 $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.4

乘以 $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.4.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{4 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$θ = \frac{8 π}{9}$

解题步骤 7

求 $\sec (\frac{3 θ}{2})$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $\frac{3}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

解题步骤 7.3

$\frac{3}{2}$ 约为 $1.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{3}$

解题步骤 7.5

乘以 $2 π \frac{2}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

解题步骤 7.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} π$

解题步骤 7.5.3

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $π$ 。

$\frac{4 π}{3}$

解题步骤 8

$\sec (\frac{3 θ}{2})$ 函数的周期为 $\frac{4 π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{4 π}{3}$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

解题步骤 9.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1.1.1

从 $4 π (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

解题步骤 9.1.2.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

解题步骤 9.1.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

解题步骤 9.1.2.1.1.2.4

用 $4 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

解题步骤 9.1.2.1.2

乘以 $4 π (0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

解题步骤 9.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{4 π}{9} + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $\frac{4 π}{9}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 π}{9}$

解题步骤 9.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{4 π}{9}$ 。

$θ = \frac{4 π}{9}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

解题步骤 9.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1.1.1

从 $4 π (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

解题步骤 9.2.2.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

解题步骤 9.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

解题步骤 9.2.2.1.1.2.4

用 $4 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

解题步骤 9.2.2.1.2

乘以 $4 π (0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

解题步骤 9.2.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{8 π}{9} + 0$

解题步骤 9.2.2.2

将 $\frac{8 π}{9}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 π}{9}$

解题步骤 9.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{8 π}{9}$ 。

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

解题步骤 9.3

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

解题步骤 9.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 9.3.2.2

要将 $\frac{4 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.3.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

解题步骤 9.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

解题步骤 9.3.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

解题步骤 9.3.2.5.2

将 $4 π$ 和 $12 π$ 相加。

$\frac{16 π}{9}$

解题步骤 9.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{16 π}{9}$ 。

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$

三角学 示例

三角学示例