三角学示例

${(5 v + 2)}^{6}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(5 v + 2)}^{6}$ , $n = 6$ ，所以展开系数将对应直线 $7$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ 。

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

解题步骤 3

将 $a$ $5 v$ 和 $b$ $2$ 的实际值代入表达式。

$1 {(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(5 v)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

${(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.2

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$5^{6} v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.3

对 $5$ 进行 $6$ 次方运算。

$15625 v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$15625 v^{6} \cdot 1 + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.5

将 $15625$ 乘以 $1$ 。

$15625 v^{6} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.6

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$15625 v^{6} + 6 (5^{5} v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.7

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 6 (3125 v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.8

将 $3125$ 乘以 $6$ 。

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.9

计算指数。

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} \cdot 2 + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.10

将 $2$ 乘以 $18750$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.11

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (5^{4} v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.12

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (625 v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.13

将 $625$ 乘以 $15$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} \cdot 4 + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.15

将 $4$ 乘以 $9375$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.16

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (5^{3} v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.17

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (125 v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.18

将 $125$ 乘以 $20$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.19

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} \cdot 8 + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.20

将 $8$ 乘以 $2500$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.21

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (5^{2} v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.22

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (25 v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.23

将 $25$ 乘以 $15$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.24

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} \cdot 16 + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.25

将 $16$ 乘以 $375$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.26

化简。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 (5 v) {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.27

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.28

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v \cdot 32 + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.29

将 $32$ 乘以 $30$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.30

将 ${(5 v)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.31

对 $5 v$ 运用乘积法则。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 5^{0} v^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.32

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 v^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.33

将 $v^{0}$ 乘以 $1$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + v^{0} {(2)}^{6}$

解题步骤 4.34

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(2)}^{6}$

解题步骤 4.35

将 ${(2)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(2)}^{6}$

解题步骤 4.36

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 64$

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