三角学示例

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ 对 $θ$ 的导数是 $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ 。

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \cos (θ)$ 且 $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 θ}{2}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{3 θ}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

解题步骤 1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

解题步骤 1.3.2

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $\frac{3 θ}{2}$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

解题步骤 1.3.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.3

组合 $\frac{- 12}{2}$ 和 $\sin (\frac{3 θ}{2})$ 。

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.4

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.4.1

从 $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.3.4.2.4

用 $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ 除以 $1$ 。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- 6$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ 对 $θ$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ 。

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \sin (θ)$ 且 $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 θ}{2}$ 。

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{3 θ}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $\frac{3 θ}{2}$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

解题步骤 2.3.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 6$ 。

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $\frac{- 18}{2}$ 和 $\cos (\frac{3 θ}{2})$ 。

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.4

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.4.1

从 $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

约去公因数。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.4.2.3

重写表达式。

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

解题步骤 2.3.2.4.2.4

用 $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ 除以 $1$ 。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

解题步骤 4

将 $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin (\frac{3 θ}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

解题步骤 4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $- 6$ 。

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 θ}{2} = 0$

解题步骤 7

将分子设为等于零。

$3 θ = 0$

解题步骤 8

将 $3 θ = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $3 θ = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{0}{3}$

解题步骤 8.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$θ = 0$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

解题步骤 10

求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1.1.2.1

从 $3 θ$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 10.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1

化简 $\frac{2}{3} (π - 0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$θ = \frac{2}{3} π$

解题步骤 10.2.2.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $π$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 11

方程 $\frac{3 θ}{2} = 0$ 的解。

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

解题步骤 12

计算在 $θ = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

解题步骤 13.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

解题步骤 13.1.2.2

约去公因数。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

解题步骤 13.1.2.3

重写表达式。

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

解题步骤 13.1.2.4

用 $3 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

解题步骤 13.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- 9 \cos (0)$

解题步骤 13.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 9 \cdot 1$

解题步骤 13.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 9$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $θ = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$θ = 0$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $θ = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $θ$ 。

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

解题步骤 15.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

解题步骤 15.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

解题步骤 15.2.1.2.2

约去公因数。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

解题步骤 15.2.1.2.3

重写表达式。

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

解题步骤 15.2.1.2.4

用 $3 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

解题步骤 15.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 4 \cos (0)$

解题步骤 15.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 4 \cdot 1$

解题步骤 15.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 4$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 16

计算在 $θ = \frac{2 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

解题步骤 17

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 17.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

解题步骤 17.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.3.1.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 17.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

解题步骤 17.3.1.3

约去公因数。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

解题步骤 17.3.1.4

重写表达式。

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

解题步骤 17.3.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 17.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.4.1

约去公因数。

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 17.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- 9 \cos (π)$

解题步骤 17.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 9 (- \cos (0))$

解题步骤 17.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.7

乘以 $- 9 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 9 \cdot - 1$

解题步骤 17.7.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$9$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $θ = \frac{2 π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$θ = \frac{2 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $θ$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

解题步骤 19.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 19.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

解题步骤 19.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.3.1.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 19.2.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

解题步骤 19.2.3.1.3

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

解题步骤 19.2.3.1.4

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

解题步骤 19.2.3.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 19.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 19.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

解题步骤 19.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

解题步骤 19.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 19.2.7

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

解题步骤 19.2.7.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

解题步骤 19.2.8

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 20

这些是 $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ 的局部极值。

$(0, 4)$ 是一个局部最大值

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

三角学 示例

三角学示例