三角学示例

$y = - \frac{1}{6} \sin (\frac{x}{4})$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{y}{4})$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$ 。

$- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $- 6$ 。

$- 6 (- \frac{1}{6} \sin (\frac{y}{4})) = - 6 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 6 (- \frac{1}{6} \sin (\frac{y}{4}))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

组合 $\sin (\frac{y}{4})$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- 6 (- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{6}) = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$- 6 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{6} = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.2.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- 1) \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{6} = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去公因数。

$6 \cdot - 1 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{6} = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.2.4

重写表达式。

$- - \sin (\frac{y}{4}) = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.3

乘。

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解题步骤 2.3.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sin (\frac{y}{4}) = - 6 x$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $\sin (\frac{y}{4})$ 乘以 $1$ 。

$\sin (\frac{y}{4}) = - 6 x$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$\frac{y}{4} = \arcsin (- 6 x)$

解题步骤 2.5

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 6 x)$

解题步骤 2.6

化简左边。

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解题步骤 2.6.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 6 x)$

解题步骤 2.6.1.2

重写表达式。

$y = 4 \arcsin (- 6 x)$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 6 x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 6 x)$ 是否为 $f (x) = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4}))$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 6 (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})))$

解题步骤 4.2.3

组合 $\sin (\frac{x}{4})$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 6 (- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{6}))$

解题步骤 4.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 6 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{6})$

解题步骤 4.2.4.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (6 (- 1) (\frac{- \sin (\frac{x}{4})}{6}))$

解题步骤 4.2.4.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (6 \cdot (- 1 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{6}))$

解题步骤 4.2.4.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 1 (- \sin (\frac{x}{4})))$

解题步骤 4.2.5

乘。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (1 \sin (\frac{x}{4}))$

解题步骤 4.2.5.2

将 $\sin (\frac{x}{4})$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (\sin (\frac{x}{4}))$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (4 \arcsin (- 6 x))$ 。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 6 x)}{4})$

解题步骤 4.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 6 x)}{4})$

解题步骤 4.3.3.2

用 $\arcsin (- 6 x)$ 除以 $1$ 。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\arcsin (- 6 x))$

解题步骤 4.3.4

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = - \frac{1}{6} \cdot (- 6 x)$

解题步骤 4.3.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- \frac{1}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = \frac{- 1}{6} \cdot (- 6 x)$

解题步骤 4.3.5.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 (- x))$

解题步骤 4.3.5.3

约去公因数。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 (- x))$

解题步骤 4.3.5.4

重写表达式。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = - 1 \cdot (- x)$

解题步骤 4.3.6

乘。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = 1 \cdot x$

解题步骤 4.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (4 \arcsin (- 6 x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 6 x)$ 为 $f (x) = - \frac{1}{6} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 6 x)$

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