三角学示例

$y = e^{x - 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = e^{y - 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $e^{y - 1} = x$ 。

$e^{y - 1} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y - 1})$ 。

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

解题步骤 2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

解题步骤 2.3.3

将 $y - 1$ 乘以 $1$ 。

$y - 1 = \ln (x)$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \ln (x) + 1$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ 是否为 $f (x) = e^{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

使用对数规则把 $x - 1$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

解题步骤 4.2.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.3.3

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

解题步骤 4.2.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (x) + 1)$ 。

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

解题步骤 4.3.3

合并 $(\ln (x) + 1) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\ln (x)$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 4.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (x) + 1) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ 为 $f (x) = e^{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

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