三角学示例

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ 。

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

解题步骤 2.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - y}$ 重写成 ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

化简。

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

解题步骤 2.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

运用分配律。

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

运用分配律。

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

运用分配律。

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.4.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

解题步骤 2.4.3.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 2.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.5.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.1.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

解题步骤 2.5.1.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

解题步骤 2.5.2

将 $- y = x^{2} - 2 x - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- y = x^{2} - 2 x - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

移动 $\frac{x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

移动 $\frac{- 2 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 1 \cdot (- 2 x)$ 重写为 $- (- 2 x)$ 。

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ 是否为 $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.2.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.2.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.3.1.1

乘以 $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1.1.1

对 $\sqrt{4 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.1.2

对 $\sqrt{4 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2

将 ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ 重写为 $4 - x$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.2.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.3

将 $\sqrt{4 - x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.4

将 $\sqrt{4 - x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.3.3

将 $\sqrt{4 - x}$ 和 $\sqrt{4 - x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.4

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.5

化简。

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解题步骤 4.2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.5.2

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 4.2.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

解题步骤 4.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

解题步骤 4.2.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

解题步骤 4.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.4.1

合并 $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1.1

将 $- 2 \sqrt{4 - x}$ 和 $2 \sqrt{4 - x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

解题步骤 4.2.4.1.2

将 $- 5 + x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 5$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

解题步骤 4.2.4.3

合并 $x - 3 + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

解题步骤 4.3.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

解题步骤 4.3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

解题步骤 4.3.3.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

解题步骤 4.3.3.4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.3.3.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

解题步骤 4.3.3.4.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 4.3.3.4.3

重写多项式。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

解题步骤 4.3.3.4.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

解题步骤 4.3.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

解题步骤 4.3.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ 为 $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

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