三角学示例

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以

$- \frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列：

$r = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入

$a_{1} = 1$ 和

$r = - \frac{1}{3}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ 乘以

$1$ 。

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1

对

$- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5.2

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

解题步骤 7

组合

${(- 1)}^{n - 1}$ 和

$\frac{1}{3^{n - 1}}$ 。

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 8

这是求等比数列的前

$n$ 项之和的公式。要进行计算，求出

$r$ 和

$a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 9

使用已知值替换变量以求

$S_{5}$ 。

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 10

将

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ 乘以

$1$ 。

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

$3$ .

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解题步骤 11.1

将

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 11.2

合并。

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

解题步骤 12

运用分配律。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

将

$- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 14.1.1

对

$- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.1.2

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.2

对

$- 1$ 进行

$5$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

将

$- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.2

从

$3^{5}$ 中分解出因数

$3$ 。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.3

约去公因数。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.4

重写表达式。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.4

一的任意次幂都为一。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.5

对

$3$ 进行

$4$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.6

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.7

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.8

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.9

要将

$- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{81}{81}$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.10

组合

$- 3$ 和

$\frac{81}{81}$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.11

在公分母上合并分子。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.12

化简分子。

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解题步骤 14.12.1

将

$- 3$ 乘以

$81$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.12.2

从

$- 1$ 中减去

$243$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.13

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 15

化简分母。

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解题步骤 15.1

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

解题步骤 15.2

从

$- 1$ 中减去

$3$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

解题步骤 16

将分子乘以分母的倒数。

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1

将

$- \frac{244}{81}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17.2

从

$- 244$ 中分解出因数

$4$ 。

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17.3

从

$- 4$ 中分解出因数

$4$ 。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 17.4

约去公因数。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 17.5

重写表达式。

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

解题步骤 18

将

$\frac{- 61}{81}$ 乘以

$\frac{1}{- 1}$ 。

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

解题步骤 19

将

$81$ 乘以

$- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

解题步骤 20

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{5} = \frac{61}{81}$

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