三角学示例

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $- \frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 1$ 和 $r = - \frac{1}{3}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将 ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

解题步骤 7

组合 ${(- 1)}^{n - 1}$ 和 $\frac{1}{3^{n - 1}}$ 。

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 8

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 9

使用已知值替换变量以求 $S_{5}$ 。

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 10

将 $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ 乘以 $1$ 。

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 11.1

将 $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 11.2

合并。

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

解题步骤 12

运用分配律。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 14.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

将 $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.2

从 $3^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.3

约去公因数。

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.3.4

重写表达式。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.4

一的任意次幂都为一。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.7

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.9

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{81}{81}$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.11

在公分母上合并分子。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.12

化简分子。

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解题步骤 14.12.1

将 $- 3$ 乘以 $81$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.12.2

从 $- 1$ 中减去 $243$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 14.13

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 15

化简分母。

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解题步骤 15.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

解题步骤 15.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

解题步骤 16

将分子乘以分母的倒数。

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1

将 $- \frac{244}{81}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17.2

从 $- 244$ 中分解出因数 $4$ 。

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

解题步骤 17.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 17.4

约去公因数。

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 17.5

重写表达式。

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

解题步骤 18

将 $\frac{- 61}{81}$ 乘以 $\frac{1}{- 1}$ 。

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

解题步骤 19

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

解题步骤 20

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{5} = \frac{61}{81}$

三角学 示例

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