三角学示例

$(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{1}{\sqrt{10}}, 0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{3}{\sqrt{10}})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{3}{\sqrt{10}}$

邻边： $\frac{1}{\sqrt{10}}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10^{1}})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.5

计算指数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.6

约去 $10$ 和 $100$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{3}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))}^{2}}$

解题步骤 2.8

合并和化简分母。

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解题步骤 2.8.1

将 $\frac{3}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 2.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- \frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.9.1

对 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

对 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.9.3

对 $3 \sqrt{10}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{10} + 1 \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.10.2

将 $\frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11

化简分子。

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解题步骤 2.11.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 2.11.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

解题步骤 2.11.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

解题步骤 2.12

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

解题步骤 2.12.2

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

解题步骤 2.12.3

约去 $90$ 和 $100$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.3.1

从 $90$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

解题步骤 2.12.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.12.3.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

解题步骤 2.12.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

解题步骤 2.12.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

解题步骤 2.12.4

化简表达式。

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解题步骤 2.12.4.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

解题步骤 2.12.4.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

解题步骤 2.12.4.3

用 $10$ 除以 $10$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.12.4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

用 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 4.3.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

解题步骤 4.3.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.31622776$

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