三角学示例

$g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$

解题步骤 1

将 $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ 写为等式。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 16$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{3}}{8} + 16$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$ 。

$\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $16$ 。

$\frac{y^{3}}{8} = x - 16$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $8$ 。

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1

约去公因数。

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

解题步骤 3.4.1.1.2

重写表达式。

$y^{3} = 8 (x - 16)$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $8 (x - 16)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = 8 x + 8 \cdot - 16$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $8$ 乘以 $- 16$ 。

$y^{3} = 8 x - 128$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{8 x - 128}$

解题步骤 3.6

化简 $\sqrt[3]{8 x - 128}$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $8 x - 128$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \sqrt[3]{8 (x) - 128}$

解题步骤 3.6.1.2

从 $- 128$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \sqrt[3]{8 x + 8 \cdot - 16}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $8 x + 8 \cdot - 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \sqrt[3]{8 (x - 16)}$

解题步骤 3.6.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{2^{3} (x - 16)}$

解题步骤 3.6.3

从根式下提出各项。

$y = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

解题步骤 4

使用 $g^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

解题步骤 5

验证 $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ 是否为 $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $g^{- 1} (g (x)) = x$ 和 $g (g^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $g^{- 1} (g (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$g^{- 1} (g (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $g$ 的值代入 $g^{- 1}$ 来计算 $g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16)$ 。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 16) - 16}$

解题步骤 5.2.3

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{x^{3}}{8}$ 和 $0$ 相加。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

解题步骤 5.2.5

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

解题步骤 5.2.6

将 $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ 重写为 ${(\frac{x}{2})}^{3}$ 。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

约去公因数。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

重写表达式。

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = x$

解题步骤 5.3

计算 $g (g^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$g (g^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $g^{- 1}$ 的值代入 $g$ 来计算 $g (2 \sqrt[3]{x - 16})$ 。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 16})}^{3}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.1

对 $2 \sqrt[3]{x - 16}$ 运用乘积法则。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 ${\sqrt[3]{x - 16}}^{3}$ 重写为 $x - 16$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 16}$ 重写成 ${(x - 16)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {({(x - 16)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.4.1

约去公因数。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3.4.2

重写表达式。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.1.3.5

化简。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

解题步骤 5.3.3.2.2

用 $x - 16$ 除以 $1$ 。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x - 16 + 16$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 16 + 16$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $g^{- 1} (g (x)) = x$ 和 $g (g^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ 为 $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ 的反函数。

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

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