三角学示例

$f (x) = 3 \sin (x) - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ 写为等式。

$y = 3 \sin (x) - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3 \sin (y) - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $3 \sin (y) - 2 = x$ 。

$3 \sin (y) - 2 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 \sin (y) = x + 2$

解题步骤 3.3

将 $3 \sin (y) = x + 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $3 \sin (y) = x + 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $\sin (y)$ 除以 $1$ 。

$\sin (y) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ 是否为 $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3 \sin (x) - 2)$ 。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2}{3} + \frac{2}{3})$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2 + 2}{3})$

解题步骤 5.2.4

合并 $3 \sin (x) - 2 + 2$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) + 0}{3})$

解题步骤 5.2.4.2

将 $3 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

解题步骤 5.2.5

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

解题步骤 5.2.5.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x))$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}))$ 。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) - 2$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}) - 2$

解题步骤 5.3.3.2

运用分配律。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.3.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

解题步骤 5.3.3.3.2

重写表达式。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ 为 $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

三角学 示例

三角学示例