三角学示例

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $18$ 。

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

解题步骤 1.2

对 $9 x^{2} - 36 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 18}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 18$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $1296$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$e = 0 - 36$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$e = - 36$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

解题步骤 1.3

在方程 $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ 中，用 $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ 代替 $9 x^{2} - 36 x$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $- 36$ 移到等式右边。

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

解题步骤 1.5

对 $- y^{2} - 6 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

移动 $\frac{- 3}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 3$

解题步骤 1.5.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 3$ 重写为 $- - 3$ 。

$d = - - 3$

解题步骤 1.5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$d = 3$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $36$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 9$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$e = 0 + 9$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$e = 9$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(y + 3)}^{2} + 9$ 。

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

解题步骤 1.6

在方程 $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ 中，用 $- {(y + 3)}^{2} + 9$ 代替 $- y^{2} - 6 y$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $9$ 移到等式右边。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

解题步骤 1.8

化简 $- 18 + 36 - 9$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 18$ 和 $36$ 相加。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

解题步骤 1.8.2

从 $18$ 中减去 $9$ 。

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $9$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

解题步骤 4

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 4.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + 9}$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{10}$

解题步骤 5

求焦点。

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解题步骤 5.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 5.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

解题步骤 5.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 5.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

解题步骤 5.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

解题步骤 6

三角学 示例

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