三角学示例

$f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

$- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.2.3

将

$3$ 乘以

$- 2$ 。

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$- 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.3.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为

$- 4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x + 0$

解题步骤 1.4.2

将

$- 6 x^{2} + 6 x$ 和

$0$ 相加。

$- 6 x^{2} + 6 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$- 6 x^{2} + 6 x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$- 6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 6 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x)$

解题步骤 2.2.3

将

$2$ 乘以

$- 6$ 。

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (6 x)$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 6 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$- 6 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则，

$- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.2.3

将

$3$ 乘以

$- 2$ 。

$f' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.3.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为

$- 4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将

$- 6 x^{2} + 6 x$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$- 6 x^{2} + 6 x$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$- 6 x^{2} + 6 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 5.2

从

$- 6 x^{2} + 6 x$ 中分解出因数

$- 6 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从

$- 6 x^{2}$ 中分解出因数

$- 6 x$ 。

$- 6 x \cdot x + 6 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从

$6 x$ 中分解出因数

$- 6 x$ 。

$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.2.3

从

$- 6 x (x) - 6 x (- 1)$ 中分解出因数

$- 6 x$ 。

$- 6 x (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.6

最终解为使

$- 6 x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 1$

解题步骤 8

计算在

$x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 \cdot 0 + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将

$- 12$ 乘以

$0$ 。

$0 + 6$

解题步骤 9.2

将

$0$ 和

$6$ 相加。

$6$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求

$x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = - 2 {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 3 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 11.2.1.2

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 11.2.1.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 - 4$

解题步骤 11.2.1.4

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0 - 4$

解题步骤 11.2.2.2

从

$0$ 中减去

$4$ 。

$f (0) = - 4$

解题步骤 11.2.3

最终答案为

$- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 12

计算在

$x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 \cdot 1 + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将

$- 12$ 乘以

$1$ 。

$- 12 + 6$

解题步骤 13.2

将

$- 12$ 和

$6$ 相加。

$- 6$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 15

求

$x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = - 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 15.2.1.2

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = - 2 + 3 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 15.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 2 + 3 \cdot 1 - 4$

解题步骤 15.2.1.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = - 2 + 3 - 4$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将

$- 2$ 和

$3$ 相加。

$f (1) = 1 - 4$

解题步骤 15.2.2.2

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$f (1) = - 3$

解题步骤 15.2.3

最终答案为

$- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 16

这些是

$f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 的局部极值。

$(0, - 4)$ 是一个局部最小值

$(1, - 3)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

三角学 示例

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