三角学示例

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

解题步骤 1

将 $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

解题步骤 2.1.3

代入 $- 0.\overline{6}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.\overline{6}$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 0.\overline{6}$ 代入多项式。

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.2

对 $- 0.\overline{6}$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 0.\overline{296}$ 。

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.4

对 $- 0.\overline{6}$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 16$ 乘以 $0.\overline{4}$ 。

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.6

从 $- 0.\overline{8}$ 中减去 $7.11111111$ 。

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 30$ 乘以 $- 0.\overline{6}$ 。

$- 8 + 20 - 12$

解题步骤 2.1.3.8

将 $- 8$ 和 $20$ 相加。

$12 - 12$

解题步骤 2.1.3.9

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 0.\overline{6}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

解题步骤 2.1.5

用 $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ 除以 $3 x + 2$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 18 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 18 x^{2} - 12 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 18 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 18 x - 12$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 6 x - 6$

解题步骤 2.1.6

将 $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ 书写为因数的集合。

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

解题步骤 2.3

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 6 x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 6 x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = - 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

将 $36$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $60$ 重写为 $2^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.4.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ 。

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

小数形式：

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

解题步骤 4

三角学 示例

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