三角学示例

f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$

解题步骤 1

将

x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ 设为等于

0

$0$ 。

x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26 = 0

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26 = 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

使用有理根检验法因式分解

x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ 。

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解题步骤 2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

解题步骤 2.1.3

代入

1

$1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

0

$0$ ，所以

1

$1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1

将

1

$1$ 代入多项式。

1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26

$1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26$

解题步骤 2.1.3.2

对

1

$1$ 进行

3

$3$ 次方运算。

1 - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26

$1 - 11 \cdot 1^{2} + 36 \cdot 1 - 26$

解题步骤 2.1.3.3

对

1

$1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

1 - 11 \cdot 1 + 36 \cdot 1 - 26

$1 - 11 \cdot 1 + 36 \cdot 1 - 26$

解题步骤 2.1.3.4

将

- 11

$- 11$ 乘以

1

$1$ 。

1 - 11 + 36 \cdot 1 - 26

$1 - 11 + 36 \cdot 1 - 26$

解题步骤 2.1.3.5

从

1

$1$ 中减去

11

$11$ 。

- 10 + 36 \cdot 1 - 26

$- 10 + 36 \cdot 1 - 26$

解题步骤 2.1.3.6

将

36

$36$ 乘以

1

$1$ 。

- 10 + 36 - 26

$- 10 + 36 - 26$

解题步骤 2.1.3.7

将

- 10

$- 10$ 和

36

$36$ 相加。

26 - 26

$26 - 26$

解题步骤 2.1.3.8

从

26

$26$ 中减去

26

$26$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 2.1.4

因为

1

$1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

x - 1

$x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26}{x - 1}

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26}{x - 1}$

解题步骤 2.1.5

用

x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ 除以

x - 1

$x - 1$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

11 x^{2}

$11 x^{2}$

36 x

$36 x$

26

$26$

解题步骤 2.1.5.2

将被除数中的最高阶项

x^{3}

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$11 x^{2}$ $11 x^{2}$	+	$36 x$ $36 x$	-	$26$ $26$

解题步骤 2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$11 x^{2}$ $11 x^{2}$	+	$36 x$ $36 x$	-	$26$ $26$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

解题步骤 2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$11 x^{2}$ $11 x^{2}$	+	$36 x$ $36 x$	-	$26$ $26$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

解题步骤 2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$

解题步骤 2.1.5.7

将被除数中的最高阶项

$- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$

解题步骤 2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$10 x$

解题步骤 2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$- 10 x^{2} + 10 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$

解题步骤 2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$

解题步骤 2.1.5.12

将被除数中的最高阶项

$26 x$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$

解题步骤 2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							+	$26 x$	-	$26$

解题步骤 2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$26 x - 26$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							-	$26 x$	+	$26$

解题步骤 2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$36 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$26 x$	-	$26$
							-	$26 x$	+	$26$
										$0$

解题步骤 2.1.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 10 x + 26$

解题步骤 2.1.6

将

$x^{3} - 11 x^{2} + 36 x - 26$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

解题步骤 2.3

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.4

将

$x^{2} - 10 x + 26$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

$x^{2} - 10 x + 26$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解

$x$ 的

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将

$a = 1$ 、

$b = - 10$ 和

$c = 26$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对

$- 10$ 进行

$2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 26$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$26$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从

$100$ 中减去

$104$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将

$- 4$ 重写为

$- 1 (4)$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将

$\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将

$2$ 移到

$i$ 的左侧。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简

$\frac{10 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 5 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 5 + i, 5 - i$

解题步骤 2.5

最终解为使

$(x - 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 5 + i, 5 - i$

解题步骤 3

三角学 示例

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