三角学示例

$z = - 5 + 5 i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = - 5$ 和 $b = 5$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{5^{2} + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{25 + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{25 + 25}$

解题步骤 4.3

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$| z | = \sqrt{50}$

解题步骤 4.4

将 $50$ 重写为 $5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$| z | = \sqrt{25 (2)}$

解题步骤 4.4.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.5

从根式下提出各项。

$| z | = 5 \sqrt{2}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{5}{- 5})$

解题步骤 6

因为 $\frac{5}{- 5}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$θ = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7

代入 $θ = \frac{3 π}{4}$ 和 $| z | = 5 \sqrt{2}$ 的值。

$5 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 8

使用三角函数替换等式的右边。

$z = 5 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

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