三角学示例

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin (x - 0.5)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x - 0.5$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 0.5$ 。

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x - 0.5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x - 0.5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ 。

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.2.7

将 $\cos (x - 0.5)$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $- 4 \cos (x - 0.5)$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \cos (x - 0.5)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \cos (x - 0.5)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x - 0.5$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 0.5$ 。

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 0.5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 0.5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ 。

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

解题步骤 4

将 $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (x - 0.5)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$\cos (x - 0.5) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x - 0.5 = \arccos (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $0.5$ 。

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

解题步骤 7.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0.5$ 相加。

$x = 2.07079632$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 9.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2

合并分数。

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解题步骤 9.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 9.1.3

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 9.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $0.5$ 。

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 和 $0.5$ 相加。

$x = 5.21238898$

解题步骤 10

方程 $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = 2.07079632, 5.21238898$

解题步骤 11

计算在 $x = 2.07079632$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

解题步骤 12

从 $2.07079632$ 中减去 $0.5$ 。

$4 \sin (1.57079632)$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2.07079632$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2.07079632$ 是一个极小值

解题步骤 14

求 $x = 2.07079632$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $2.07079632$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

从 $2.07079632$ 中减去 $0.5$ 。

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

解题步骤 14.2.2

最终答案为 $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ 。

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

解题步骤 15

计算在 $x = 5.21238898$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

解题步骤 16

从 $5.21238898$ 中减去 $0.5$ 。

$4 \sin (4.71238898)$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 5.21238898$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5.21238898$ 是一个极大值

解题步骤 18

求 $x = 5.21238898$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $5.21238898$ 替换变量 $x$ 。

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

从 $5.21238898$ 中减去 $0.5$ 。

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

解题步骤 18.2.2

最终答案为 $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ 。

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ 的局部极值。

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ 是一个局部最小值

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ 是一个局部最大值

解题步骤 20

三角学 示例

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