三角学示例

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$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 28 \\ c = & 35 \\ a = & 21 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(28)}^{2} + {(35)}^{2} - {(21)}^{2}}{2 (28) (35)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

$28$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{784 + 35^{2} - 21^{2}}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.1.2

对

$35$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{784 + 1225 - 21^{2}}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.1.3

对

$21$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{784 + 1225 - 1 \cdot 441}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.1.4

将

$- 1$ 乘以

$441$ 。

$A = \arccos (\frac{784 + 1225 - 441}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.1.5

将

$784$ 和

$1225$ 相加。

$A = \arccos (\frac{2009 - 441}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.1.6

从

$2009$ 中减去

$441$ 。

$A = \arccos (\frac{1568}{2 (28) \cdot 35})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将

$2$ 乘以

$28$ 。

$A = \arccos (\frac{1568}{56 \cdot 35})$

解题步骤 4.2.2

将

$56$ 乘以

$35$ 。

$A = \arccos (\frac{1568}{1960})$

解题步骤 4.3

约去

$1568$ 和

$1960$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从

$1568$ 中分解出因数

$392$ 。

$A = \arccos (\frac{392 (4)}{1960})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从

$1960$ 中分解出因数

$392$ 。

$A = \arccos (\frac{392 \cdot 4}{392 \cdot 5})$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{392 \cdot 4}{392 \cdot 5})$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{4}{5})$

解题步骤 4.4

计算

$\arccos (\frac{4}{5})$ 。

$A = 36.86989764$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(21)}^{2} + {(35)}^{2} - {(28)}^{2}}{2 (21) (35)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对

$21$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{441 + 35^{2} - 28^{2}}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.1.2

对

$35$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{441 + 1225 - 28^{2}}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.1.3

对

$28$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{441 + 1225 - 1 \cdot 784}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.1.4

将

$- 1$ 乘以

$784$ 。

$B = \arccos (\frac{441 + 1225 - 784}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.1.5

将

$441$ 和

$1225$ 相加。

$B = \arccos (\frac{1666 - 784}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.1.6

从

$1666$ 中减去

$784$ 。

$B = \arccos (\frac{882}{2 (21) \cdot 35})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将

$2$ 乘以

$21$ 。

$B = \arccos (\frac{882}{42 \cdot 35})$

解题步骤 8.2.2

将

$42$ 乘以

$35$ 。

$B = \arccos (\frac{882}{1470})$

解题步骤 8.3

约去

$882$ 和

$1470$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从

$882$ 中分解出因数

$294$ 。

$B = \arccos (\frac{294 (3)}{1470})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从

$1470$ 中分解出因数

$294$ 。

$B = \arccos (\frac{294 \cdot 3}{294 \cdot 5})$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{294 \cdot 3}{294 \cdot 5})$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{3}{5})$

解题步骤 8.4

计算

$\arccos (\frac{3}{5})$ 。

$B = 53.13010235$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$36.86989764 + C + 53.13010235 = 180$

解题步骤 10

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将

$36.86989764$ 和

$53.13010235$ 相加。

$C + 90 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去

$90$ 。

$C = 180 - 90$

解题步骤 10.2.2

从

$180$ 中减去

$90$ 。

$C = 90$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90$

$a = 21$

$b = 28$

$c = 35$

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