三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 23 c = a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = & 105 C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求

A

$A$ 。

\frac{sin (A)}{14} = \frac{sin (105)}{23}

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

解题步骤 3

求解

A

$A$ 的方程。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以

14

$14$ 。

14 \frac{sin (A)}{14} = 14 \frac{sin (105)}{23}

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

约去

14

$14$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简

$14 \frac{\sin (105)}{23}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

$\sin (105)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将

$75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

使用两角和公式。

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

$\sin (30)$ 的准确值为

$\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.6

$\cos (30)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8

化简

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1

乘以

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2

乘以

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.1

将

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.3

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

将

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以

$\frac{1}{23}$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将

$4$ 乘以

$23$ 。

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

解题步骤 3.2.2.1.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.4.1

从

$14$ 中分解出因数

$2$ 。

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

从

$92$ 中分解出因数

$2$ 。

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

解题步骤 3.2.2.1.4.3

约去公因数。

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

解题步骤 3.2.2.1.4.4

重写表达式。

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

解题步骤 3.2.2.1.5

组合

$7$ 和

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ 。

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$A$ 。

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

计算

$\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ 。

$A = 36.01201213$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 36.01201213$

解题步骤 3.6

从

$180$ 中减去

$36.01201213$ 。

$A = 143.98798786$

解题步骤 3.7

方程

$A = 36.01201213$ 的解。

$A = 36.01201213, 143.98798786$

解题步骤 3.8

排除无效角。

$A = 36.01201213$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$36.01201213 + C + 105 = 180$

解题步骤 5

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将

$36.01201213$ 和

$105$ 相加。

$C + 141.01201213 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去

$141.01201213$ 。

$C = 180 - 141.01201213$

解题步骤 5.2.2

从

$180$ 中减去

$141.01201213$ 。

$C = 38.98798786$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求

$c$ 。

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

解题步骤 8

求解

$c$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算

$\sin (38.98798786)$ 。

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

解题步骤 8.1.2

计算

$\sin (36.01201213)$ 。

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

解题步骤 8.1.3

用

$0.58795485$ 除以

$14$ 。

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$c$

解题步骤 8.3

将

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ 中的每一项乘以

$c$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ 中的每一项乘以

$c$ 。

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去

$c$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.62915744 = 0.04199677 c$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为

$0.04199677 c = 0.62915744$ 。

$0.04199677 c = 0.62915744$

解题步骤 8.4.2

将

$0.04199677 c = 0.62915744$ 中的每一项除以

$0.04199677$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将

$0.04199677 c = 0.62915744$ 中的每一项都除以

$0.04199677$ 。

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去

$0.04199677$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用

$c$ 除以

$1$ 。

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用

$0.62915744$ 除以

$0.04199677$ 。

$c = 14.98108954$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$

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