三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 12 c = a = & 5 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 5 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

解题步骤 2

求解方程。

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

c = \sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 12 cos (90 °)}

$c = \sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cos (90 °)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对

5

$5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

c = \sqrt{25 + {(12)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot (12 cos (90 °))}

$c = \sqrt{25 + {(12)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot (12 \cos (90 °))}$

解题步骤 4.2

对

12

$12$ 进行

2

$2$ 次方运算。

c = \sqrt{25 + 144 - 2 \cdot 5 \cdot (12 cos (90 °))}

$c = \sqrt{25 + 144 - 2 \cdot 5 \cdot (12 \cos (90 °))}$

解题步骤 4.3

乘以

- 2 \cdot 5 \cdot 12

$- 2 \cdot 5 \cdot 12$ 。

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解题步骤 4.3.1

将

- 2

$- 2$ 乘以

5

$5$ 。

c = \sqrt{25 + 144 - 10 \cdot (12 cos (90 °))}

$c = \sqrt{25 + 144 - 10 \cdot (12 \cos (90 °))}$

解题步骤 4.3.2

将

- 10

$- 10$ 乘以

12

$12$ 。

c = \sqrt{25 + 144 - 120 cos (90 °)}

$c = \sqrt{25 + 144 - 120 \cos (90 °)}$

c = \sqrt{25 + 144 - 120 cos (90 °)}

$c = \sqrt{25 + 144 - 120 \cos (90 °)}$

解题步骤 4.4

cos (90 °)

$\cos (90 °)$ 的准确值为

0

$0$ 。

c = \sqrt{25 + 144 - 120 \cdot 0}

$c = \sqrt{25 + 144 - 120 \cdot 0}$

解题步骤 4.5

将

- 120

$- 120$ 乘以

0

$0$ 。

c = \sqrt{25 + 144 + 0}

$c = \sqrt{25 + 144 + 0}$

解题步骤 4.6

将

25 + 144

$25 + 144$ 和

0

$0$ 相加。

c = \sqrt{25 + 144}

$c = \sqrt{25 + 144}$

解题步骤 4.7

将

25

$25$ 和

144

$144$ 相加。

c = \sqrt{169}

$c = \sqrt{169}$

解题步骤 4.8

将

169

$169$ 重写为

13^{2}

$13^{2}$ 。

c = \sqrt{13^{2}}

$c = \sqrt{13^{2}}$

解题步骤 4.9

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

c = 13

$c = 13$

c = 13

$c = 13$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求

A

$A$ 。

\frac{sin (A)}{5} = \frac{sin (90 °)}{13}

$\frac{\sin (A)}{5} = \frac{\sin (90 °)}{13}$

解题步骤 7

求解

A

$A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以

5

$5$ 。

5 \frac{sin (A)}{5} = 5 \frac{sin (90 °)}{13}

$5 \frac{\sin (A)}{5} = 5 \frac{\sin (90 °)}{13}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去

5

$5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$5 \frac{\sin (A)}{5} = 5 \frac{\sin (90 °)}{13}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 5 \frac{\sin (90 °)}{13}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简

$5 \frac{\sin (90 °)}{13}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

$\sin (90 °)$ 的准确值为

$1$ 。

$\sin (A) = 5 (\frac{1}{13})$

解题步骤 7.2.2.1.2

组合

$5$ 和

$\frac{1}{13}$ 。

$\sin (A) = \frac{5}{13}$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

$A$ 。

$A = \arcsin (\frac{5}{13})$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算

$\arcsin (\frac{5}{13})$ 。

$A = 22.61986494$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从

$180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 22.61986494$

解题步骤 7.6

从

$180$ 中减去

$22.61986494$ 。

$A = 157.38013505$

解题步骤 7.7

方程

$A = 22.61986494$ 的解。

$A = 22.61986494, 157.38013505$

解题步骤 7.8

排除无效角。

$A = 22.61986494$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$22.61986494 + 90 ° + B = 180$

解题步骤 9

求解

$B$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将

$22.61986494$ 和

$90 °$ 相加。

$112.61986494 + B = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含

$B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去

$112.61986494$ 。

$B = 180 - 112.61986494$

解题步骤 9.2.2

从

$180$ 中减去

$112.61986494$ 。

$B = 67.38013505$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 22.61986494$

$B = 67.38013505$

$C = 90 °$

$a = 5$

$b = 12$

$c = 13$

三角学 示例

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