三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 6 \\ c = & 8 \\ a = & 7 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(6)}^{2} + {(8)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (6) (8)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 8^{2} - 7^{2}}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 64 - 7^{2}}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.1.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{36 + 64 - 1 \cdot 49}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$A = \arccos (\frac{36 + 64 - 49}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.1.5

将 $36$ 和 $64$ 相加。

$A = \arccos (\frac{100 - 49}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.1.6

从 $100$ 中减去 $49$ 。

$A = \arccos (\frac{51}{2 (6) \cdot 8})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$A = \arccos (\frac{51}{12 \cdot 8})$

解题步骤 4.2.2

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$A = \arccos (\frac{51}{96})$

解题步骤 4.3

约去 $51$ 和 $96$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $51$ 中分解出因数 $3$ 。

$A = \arccos (\frac{3 (17)}{96})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $96$ 中分解出因数 $3$ 。

$A = \arccos (\frac{3 \cdot 17}{3 \cdot 32})$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{3 \cdot 17}{3 \cdot 32})$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{17}{32})$

解题步骤 4.4

计算 $\arccos (\frac{17}{32})$ 。

$A = 57.91004874$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(8)}^{2} - {(6)}^{2}}{2 (7) (8)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{49 + 8^{2} - 6^{2}}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 6^{2}}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 1 \cdot 36}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$B = \arccos (\frac{49 + 64 - 36}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.1.5

将 $49$ 和 $64$ 相加。

$B = \arccos (\frac{113 - 36}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.1.6

从 $113$ 中减去 $36$ 。

$B = \arccos (\frac{77}{2 (7) \cdot 8})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$B = \arccos (\frac{77}{14 \cdot 8})$

解题步骤 8.2.2

将 $14$ 乘以 $8$ 。

$B = \arccos (\frac{77}{112})$

解题步骤 8.3

约去 $77$ 和 $112$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $77$ 中分解出因数 $7$ 。

$B = \arccos (\frac{7 (11)}{112})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $112$ 中分解出因数 $7$ 。

$B = \arccos (\frac{7 \cdot 11}{7 \cdot 16})$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{7 \cdot 11}{7 \cdot 16})$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{11}{16})$

解题步骤 8.4

计算 $\arccos (\frac{11}{16})$ 。

$B = 46.56746344$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$57.91004874 + C + 46.56746344 = 180$

解题步骤 10

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将 $57.91004874$ 和 $46.56746344$ 相加。

$C + 104.47751218 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $104.47751218$ 。

$C = 180 - 104.47751218$

解题步骤 10.2.2

从 $180$ 中减去 $104.47751218$ 。

$C = 75.52248781$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 57.91004874$

$B = 46.56746344$

$C = 75.52248781$

$a = 7$

$b = 6$

$c = 8$

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