三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求三角形的最后一个角。

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解题步骤 1.1

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 90 + 45 = 180$

解题步骤 1.2

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 1.2.1

将 $90$ 和 $45$ 相加。

$A + 135 = 180$

解题步骤 1.2.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.2.1

从等式两边同时减去 $135$ 。

$A = 180 - 135$

解题步骤 1.2.2.2

从 $180$ 中减去 $135$ 。

$A = 45$

解题步骤 2

求 $c$ 。

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解题步骤 2.1

角的正弦等于对边和斜边之比。

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 2.2

将每一边的名字代入正弦函数的定义中。

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

解题步骤 2.3

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即 $c$ 。

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

解题步骤 2.4

将每一个变量的值代入正弦公式。

$c = \frac{7}{\sin (45)}$

解题步骤 2.5

将分子乘以分母的倒数。

$c = 7 (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.6

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = 7 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 2.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 2.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 2.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.6.4.1

约去公因数。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.7.6.4.2

重写表达式。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.7.6.5

计算指数。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

约去公因数。

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2.8.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$c = 7 \sqrt{2}$

解题步骤 3

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 3.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 3.2

求解 $a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

解题步骤 3.3

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(7 \sqrt{2})}^{2} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

对 $7 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{7^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{49 {\sqrt{2}}^{2} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1

约去公因数。

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

重写表达式。

$a = \sqrt{49 \cdot 2 - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

计算指数。

$a = \sqrt{49 \cdot 2 - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $49$ 乘以 $2$ 。

$a = \sqrt{98 - {(7)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{98 - 1 \cdot 49}$

解题步骤 3.6.3

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$a = \sqrt{98 - 49}$

解题步骤 3.6.4

从 $98$ 中减去 $49$ 。

$a = \sqrt{49}$

解题步骤 3.6.5

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$a = \sqrt{7^{2}}$

解题步骤 3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 7$

解题步骤 4

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = 7$

$b = 7$

$c = 7 \sqrt{2}$

三角学 示例

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