三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 7 c = a = & 6 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = & 6 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 1.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 1.2

求解

c

$c$ 的方程。

c = \sqrt{b^{2} + a^{2}}

$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}}$

解题步骤 1.3

将实际值代入方程中。

c = \sqrt{{(7)}^{2} + {(6)}^{2}}

$c = \sqrt{{(7)}^{2} + {(6)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对

7

$7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

c = \sqrt{49 + {(6)}^{2}}

$c = \sqrt{49 + {(6)}^{2}}$

解题步骤 1.5

对

6

$6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

c = \sqrt{49 + 36}

$c = \sqrt{49 + 36}$

解题步骤 1.6

将

49

$49$ 和

36

$36$ 相加。

c = \sqrt{85}

$c = \sqrt{85}$

c = \sqrt{85}

$c = \sqrt{85}$

解题步骤 2

求

B

$B$ 。

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解题步骤 2.1

该角

B

$B$ 可利用逆正弦函数求得。

B = arcsin (\frac{opp}{hyp})

$B = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

解题步骤 2.2

代入三角形的角

B

$B$ 的对边值和斜边

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ 值。

B = arcsin (\frac{7}{\sqrt{85}})

$B = \arcsin (\frac{7}{\sqrt{85}})$

解题步骤 2.3

将

\frac{7}{\sqrt{85}}

$\frac{7}{\sqrt{85}}$ 乘以

\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}

$\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 。

B = arcsin (\frac{7}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})

$B = \arcsin (\frac{7}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})$

解题步骤 2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1

将

\frac{7}{\sqrt{85}}

$\frac{7}{\sqrt{85}}$ 乘以

\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}

$\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})$

解题步骤 2.4.2

对

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})$

解题步骤 2.4.3

对

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}})$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}})$

解题步骤 2.4.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}})$

解题步骤 2.4.6

将

{\sqrt{85}}^{2}

${\sqrt{85}}^{2}$ 重写为

85

$85$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ 重写成

85^{\frac{1}{2}}

$85^{\frac{1}{2}}$ 。

B = arcsin ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{7 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.4.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

B = arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}})

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.4.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.4.1

约去公因数。

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.4.6.4.2

重写表达式。

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85})$

解题步骤 2.4.6.5

计算指数。

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85})$

解题步骤 2.5

计算

$\arcsin (\frac{7 \sqrt{85}}{85})$ 。

$B = 49.39870535$

解题步骤 3

求三角形的最后一个角。

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解题步骤 3.1

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$A + 90 + 49.39870535 = 180$

解题步骤 3.2

求解

$A$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

将

$90$ 和

$49.39870535$ 相加。

$A + 139.39870535 = 180$

解题步骤 3.2.2

将所有不包含

$A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.2.1

从等式两边同时减去

$139.39870535$ 。

$A = 180 - 139.39870535$

解题步骤 3.2.2.2

从

$180$ 中减去

$139.39870535$ 。

$A = 40.60129464$

解题步骤 4

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 40.60129464$

$B = 49.39870535$

$C = 90$

$a = 6$

$b = 7$

$c = \sqrt{85}$

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