三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = c = & 16 a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = & 67 ° C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 16 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 67 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求

b

$b$ 。

\frac{sin (67 °)}{b} = \frac{sin (90 °)}{16}

$\frac{\sin (67 °)}{b} = \frac{\sin (90 °)}{16}$

解题步骤 3

求解

b

$b$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

计算

sin (67 °)

$\sin (67 °)$ 。

\frac{0.92050485}{b} = \frac{sin (90 °)}{16}

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{\sin (90 °)}{16}$

解题步骤 3.1.2

sin (90 °)

$\sin (90 °)$ 的准确值为

1

$1$ 。

\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}$

\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

b, 16

$b, 16$

解题步骤 3.2.2

由于

b, 16

$b, 16$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分

1, 16

$1, 16$ 的最小公倍数，然后求变量部分

b^{1}

$b^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

该数

1

$1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.5

$16$ 的质因数是

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

$16$ 具有因式

$2$ 和

$8$ 。

$2 \cdot 8$

解题步骤 3.2.5.2

$8$ 具有因式

$2$ 和

$4$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 4$

解题步骤 3.2.5.3

$4$ 具有因式

$2$ 和

$2$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.6

乘以

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$4 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 3.2.6.2

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$8 \cdot 2$

解题步骤 3.2.6.3

将

$8$ 乘以

$2$ 。

$16$

解题步骤 3.2.7

$b^{1}$ 的因式是

$b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了

$1$ 次。

解题步骤 3.2.8

$b^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b$

解题步骤 3.2.9

$b, 16$ 的最小公倍数为数字部分

$16$ 乘以变量部分。

$16 b$

解题步骤 3.3

将

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}$ 中的每一项乘以

$16 b$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将

$\frac{0.92050485}{b} = \frac{1}{16}$ 中的每一项乘以

$16 b$ 。

$\frac{0.92050485}{b} (16 b) = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$16 \frac{0.92050485}{b} b = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.2.2

乘以

$16 \frac{0.92050485}{b}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

组合

$16$ 和

$\frac{0.92050485}{b}$ 。

$\frac{16 \cdot 0.92050485}{b} b = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.2.2.2

将

$16$ 乘以

$0.92050485$ 。

$\frac{14.72807765}{b} b = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.2.3

约去

$b$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{14.72807765}{b} b = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.2.3.2

重写表达式。

$14.72807765 = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去

$16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从

$16 b$ 中分解出因数

$16$ 。

$14.72807765 = \frac{1}{16} (16 (b))$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

$14.72807765 = \frac{1}{16} (16 b)$

解题步骤 3.3.3.1.3

重写表达式。

$14.72807765 = b$

解题步骤 3.4

将方程重写为

$b = 14.72807765$ 。

$b = 14.72807765$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$A + 90 ° + 67 ° = 180$

解题步骤 5

求解

$A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将

$90 °$ 和

$67 °$ 相加。

$A + 157 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含

$A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去

$157$ 。

$A = 180 - 157$

解题步骤 5.2.2

从

$180$ 中减去

$157$ 。

$A = 23$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求

$a$ 。

$\frac{\sin (23)}{a} = \frac{\sin (67 °)}{14.72807765}$

解题步骤 8

求解

$a$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算

$\sin (23)$ 。

$\frac{0.39073112}{a} = \frac{\sin (67 °)}{14.72807765}$

解题步骤 8.1.2

计算

$\sin (67 °)$ 。

$\frac{0.39073112}{a} = \frac{0.92050485}{14.72807765}$

解题步骤 8.1.3

用

$0.92050485$ 除以

$14.72807765$ 。

$\frac{0.39073112}{a} = 0.0625$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$a$

解题步骤 8.3

将

$\frac{0.39073112}{a} = 0.0625$ 中的每一项乘以

$a$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将

$\frac{0.39073112}{a} = 0.0625$ 中的每一项乘以

$a$ 。

$\frac{0.39073112}{a} a = 0.0625 a$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去

$a$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.39073112}{a} a = 0.0625 a$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.39073112 = 0.0625 a$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为

$0.0625 a = 0.39073112$ 。

$0.0625 a = 0.39073112$

解题步骤 8.4.2

将

$0.0625 a = 0.39073112$ 中的每一项除以

$0.0625$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将

$0.0625 a = 0.39073112$ 中的每一项都除以

$0.0625$ 。

$\frac{0.0625 a}{0.0625} = \frac{0.39073112}{0.0625}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去

$0.0625$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.0625 a}{0.0625} = \frac{0.39073112}{0.0625}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用

$a$ 除以

$1$ 。

$a = \frac{0.39073112}{0.0625}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用

$0.39073112$ 除以

$0.0625$ 。

$a = 6.25169805$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 23$

$B = 67 °$

$C = 90 °$

$a = 6.25169805$

$b = 14.72807765$

$c = 16$

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